На счёт апостиля. В целом, какие документы нужно апостилировать и где в Казахстане это сделать?

Апостилируют документы в ЦОНах. Есть онлайн услуга в egov. kz. Вы можете апостилировать оригиналы документов или Нотариально заверенных документов. Обычно апостилируют: свидетельство о рождении ребёнка, разрешение Нотариально заверенное от родителя (если едет один из родителей с ребёнком), табель, кто-то апостилирует диплом и аттестат о школьном образовании. 0,5 мрп если не ошибаюсь стоимость.