Подскажите пожалуйста, когда ТОО в Казахстане устраивает по ТД гражданина России, нужно ли ТОО как-то связываться с российскими налоговыми органами и вообще какие-то данные в Россию отправлять?

Когда ТОО открываешь нужно уведомить, лучшее всего нужно спросить у Юриста в РФ так правильно будет.

Нет, не нужно. Вы сдаете отчётность по работникам только в Казахстане, платите зарплату и отчисления в бюджет. А россиянин сам декларирует свои доходы на родине, это его личная обязанность.