подал документы на шенген в Итальянское консульство. Правильно понимаю, что если одобрят, смогу свободно перемещаться по всей Европе, даже если нигде это не указывал при подаче документов.

Конечно.

Если туристическая multi visa, то можно перемещаться по всей Европе . Но есть нюансы : лучше, чтобы первая страна въезда была Италия и максимальное количество дней на территории шенгена тоже в Италии Иначе потом , когда будете подавать на новую, могут у консульства возникнуть вопросы.