Возможен ли такой вариант, что мы с ребенком будем прописаны в одном месте, а жить будем в другом?

Во многих коммунах полиция проверяет фактическое проживание. Приходят домой, либо соседей опрашивают.

Да, в Италии есть понятие резиденция и домичилио (адрес фактического проживания). Но для получения резиденции жить вы должны по адресу ее запроса. Но, опять же, вам не обязательно получать резиденцию (хотя это неудобно и лишает карты идентита). Можете жить и по гостевому приглашению (оспиталита), только его необходимо регистрировать в полиции.