В Тбилиси россиянину можно оформить загран в посольстве? Срок действия скоро истечёт.

Можете в консульство позвонить, подскажут.

На биометрический паспорт нового образца (который действует 10 лет) подать заявление уже нельзя (с 26 августа нельзя, см. объявление на сайте консульской службы РФ (при посольстве Швейцарии) в Тбилиси). Но загранпаспорт старого образца на 5 лет получить ещё можно.