Если я в РФ получу международные права, мне нужно будет менять права на кипрские?

Международные никому не интересны. После 6 месяцев непрерывного проживания на Кипре, вы должны поменять РФ права на кипрские.

Международные - вы имеете в виду книжечку? Если да - то это не отдельный документ, а по сути перевод вашего ВУ на несколько самых распространенных языков и без национального ВУ эта книжка ничего из себя не представляет.