Подскажите, пожалуйста, на каком основании ребёнка возьмут в школу в Германии? Что для этого нужно, прописка? Могут ли прописать по туристической визе?

Виза школу точно не интересует. Регистрация по месту жительства нужна, да.

Регистрация нужна. По туристической визе вы регистрацию само собой не получите. Регистрация для тех кто живёт в Германии, а не для туристов.