Если имел по рождению гражданство другой страны, потом оформил российское, а после российского – уже подался на документы аргентинские, нужно ли подтверждение выхода из первого гражданства или что-то еще такое?

Аргентинская Миграционес видит только то гражданство, которое Вы используете для вьезда и подачи документов. И не интересуется Вашими другими гражданствами, бывшими или нынешними. Единственное что, свидетельство о рождении должно быть апостилировано той страной, где оно выдано.