Подскажите, пожалуйста, апостиль диплома как лучше сейчас делать? Подавать через mos. ru или ехать в департамент образования? Где быстрее и срок 45 дней это минимальный или могут раньше сделать?

Отправьте документы с курьером. Не стоять в очереди, и зарегистрируют сразу, только потом позвоните узнайте входящий номер. А ждать, -уж как получится. Позванивайте секретарю время от времени. Они не торопятся сами оповещать о готовности.

По времени будет одинаково.

Могут делать и дольше 45 дней, и меньше. Вообще не угадаете.