Можно ли делать новый шенген, пока не закончился старый?

Конечно можно, этот аннулируют.

Получить новый загранпаспорт и сделать шенген.

Можно, при подаче на новую визу, предидущая аннулируется ( раньше так точно было). Звоните, идите в итальянский вц ( пока все не кинулись)

А раз у Вас есть Эстонский шанген, Вы можете через Финляндию ( или ещё какую - нибудь страну шангена вехать в ЕС и в Эстонию.

Так летите в Италию, а оттуда в Нарву! .