подскажите, как можно добраться в Мерсин из Батуми, может трансферы или прямые маршруты есть?

Прямых нет. Есть автобус Батуми - Алания. Можно доехать до Трабзона, оттуда есть прямой на Мерсин. Obilet com смотрите там билеты.

Самолётом только. Ито через Стамбул скорее всего) но это самый быстрый способ. И наверно самый дешевый)

Автобус Батуми-Анкара, там или ещё один автобус Анкара-Мерсин, или самолёт.