Скажите пожалуйста, обязательно ли иметь свидетельство о рождении и выписываться из квартиры в которой прописан по паспорту в Грузии?

О. Заселение и прописка это вообще разные вещи. Даже по закону РФ. А тут вообще другая страна.

Свидетельство о рождении у меня вообще за всю жизнь никто не требовал.

Вам максимум может понадобиться сделать регистрацию (временную) в квартире, которую вы сняли. которая может понадобиться для открытия ип итд. Но это не обязательно.

Собой на всякий случай лучше всё взять.