правда ли, что через полгода пребывания в Армении можно просто вылететь из страны на денек, вернуться обратно и снова можно жить полгода?

Официально как бы ну не совсем, но вообще да.

Мне HR-ы сказали, что напрямую обращались в госорганы и выходит, что да, действительно так. Единственный минус в том, что без легализации нельзя получить официальный больничный в случае болезни.

Скажем так. В официальных документах нет ни слова про такой способ, но по факту на него закрывают глаза и не наказывают.