Скажите пожалуйста, как лучше перемещаться по Стамбулу? И где можно купить карту Istanbulkart?

Ну и про перемещение Вы сами ответили: по истанбулкарте. По ней так же можно пройти в общественный туалет на галатском мосту.

Карту можно купить в терминалах в метро, если будет в наличии. В терминалах есть русский язык, там не сложно. В них же пополнять. По карте, как уже сказали, доступно метро, общественные туалеты (где есть турникеты), паромы.