Как доказывать common-law, если мы с девушкой жили не в съемной квартире и не было никаких совместных счетов, покупок? Были только совместные поездки и я платил за нее за университет.

Вам в любом случае нужно будет подписать декларацию по форме Imm5409. Приложить можно, например, фото и билеты из совместных поездок, письмо с описанием истории ваших отношений, письма от друзей/родственников, страховки. Документы об оплате университета я бы тоже приложила.

Сделайте совместный счет или доверенности на счета друг другу сейчас, плюс можно застраховаться и указать друг друга выгодоплучателями. Документы за оплату вуза тоже подойдут. Ну и форму common-law обязательно заполнить и заверить.