Подскажите пожалуйста карту какого банка лучше завести в Москве, чтобы без проблем снимать деньги в левах или другой валюте в Бургасе?

Без проблем - не будет такого))) можно только unionpay от какого-то банка не под санкциями получить и снимать деньги в банкоматах дск с наклейкой union pay.

Никакого. Но карты системы Union Pay, выпущенные российскими банками, хотя бы ограниченно поддерживаются в Болгарии банкоматами банка ДСК.