Может ли с российским гражданством открыть счёт и к несу карту в индийском банке.

А что для этого нужно сделать и в каком банке рекомендуете?

@Alexander: Прилететь в Индию и посетить местные банки. Выбрать подходящие условия, собрать документы и подать в банк.