диагностичку машины не просят , когда въезжать в Эстонию?

Только права и страховку на машину.

Диагностическая карта о тех. исправности авто. Раньше у нас к полису осаго оформляли.

Не требуется.

Может вы имеете ввиду green card? Всегда при въезде в Эстонию спрашивают. Это как наша ОСАГО, только для Европы. Ее можно оформить по дороге в Ивангород, есть ларьки .