Что делать, если потенциальные арендодатели не хотят регистрировать договор аренды, при этом квартиранту нужны ВНЖ и счет в банк?

Нет, вас обманывают. Более того, чтобы договор нормально приняли и чтобы для вас аренда была безопасна требуйте подписание договора произвести у нотариуса чтобы нотариус заверил. Также бывает сдают не свои квартиры, не плохо прописать в договоре основание собственности и чтобы была приложена копия этого документа.

Ну я через крупное агенство акцерн арендовал, там в договоре есть и имя арендодателя, и копия свидетельства на собственность, и копия его паспорта, но да, налог он тоже платит.

Договор предусматривает подпись обеих сторон. Чтоб не платить налог, договор надо заключать на менее чем 12 мес.