Подскажите пожалуйста, если я в Сербии возьму именно апартаменты на букинге, то там за меня сделают белый картон или придётся с собственником идти в полицию и его делать там?

Сделают.

Зависит от того, зарегистрирован ли владелец апартаментов в системе е-турист. Если нет, то придется идти в полицию, правда, вы там не нужны - нужен только ваш паспорт. И сам вопрос с белым картоном лучше у владельца уточнить заранее, некоторые под соусом "А я не знал / Я не могу / Квартира бабушкина - бабушка в деревне" отказываются регистрировать.

Меня неделю, что мы искали постоянное жильё, хозяин жилья просто игнорил. поэтому попросите заранее)