Собираюсь ехать на два месяца из РФ в Казахстан, приехать на пять дней в отель, а затем снять квартиру на два месяца.

Да отель сам уведомит о вас. А потом с владельцем съёмной квартиры сходите в миграционку и он о вас сообщит, так у них в базе вы будете по новому адресу и всё ок. Либо как то через интернет об иностранце можно уведомить. Но это я уже точно не скажу, проще и надежнее самим мигр. отдел посетить.(В миграционку владелец может и без вас сходить, если доверите ему данные паспорта)