Ставят ли в паспорт штамп об отказе в туристической визе в Польше? И может ли отказ в Польше негативно сказаться на последующей подаче в других странах?

Отказ в системе и в вашем ответе при следующей подаче

Штамп не ставят, знать будут про отказ в независимости в какой стране вы потом ещё подадитесь. Плюс вы сами обязаны будете это сказать при заполнении анкеты. И естественно это влияет на последующую выдачу.