в Ш4 в России считается как ПМЖ, надо ли уведомлять и какие последствия от уведомления и не уведомления? И кого уведомлять вообще и как?

Не вижу, каким боком Ш4 это перманент резиденс. Он же на 2-3 года максимум и зависит от кучи условий. Перманент резиденс это как в континентальном EU - оно там так и называется - permanent residence permit. Или как тут stamp 5. Я летал с stamp4 в Россию и никого не уведомлял. На границе пограничник спросил что за виза - я сказал что это рабочая. Он уточнил - это permanent residence, я сказал нет, он отвязался. Но это было в 16 году ещё, может сейчас больше цепляются, не знаю.

Ш4 дает право жить более 183 дней в году, следовательно, может быть расценен как ВНЖ, за неуведомление о котором вам могут припаять судимость. Можно, конечно, попытаться отшутиться тем что это рабочая виза, но у вашего партнера и/или детей рабочей визы может и не быть. Уведомлять можно по почте заказным письмом, на главпочтампте местном обычно знают, в обычных отделениях могут не знать. Удовольствие стоило пару лет назад 1.5к рублей на троих и кучу нервов на заполнение доблоящерской анкеты в двух экземплярах на каждого. Ксерокопию можно сделать, но там есть хитрости типа полей, которые должны быть заполнены от руки. Вам дадут корешок, который по идее вам надо хранить до получения следующего штампа и возить с собой через границу. Можно к ним ножкой еще сходить, сдать уведомления лично. Позвоните в УФМС.

Ш4 и прилагающийся к нему IRP (а у вас он наверняка есть) в России считаются как ВНЖ в иностранном государстве (то есть документ/сертификат дающий право проживать в стране более 90 дней) и по закону вы обязаны об этом уведомить ГУМВ МВД РФ. Обязанность гражданина Российской Федерации, постоянно проживающего за ее пределами, письменно уведомить миграционные органы о своем втором гражданстве, полученном ВНЖ возникает только после его первого въезда в Российскую Федерацию после 5 августа 2014 года. Такое уведомление он должен подать в 30-дневный срок. И только в случае уклонения от подачи уведомления в этот срок наступит соответствующая административная или уголовная ответственность за неисполнение обязанности по подаче уведомления о наличии у гражданина Российской Федерации гражданства (подданства) иностранного государства либо вида на жительство или иного действительного документа, подтверждающего право на его постоянное проживание в иностранном государстве.