Есть паспорт РФ, для Турции он не подходит, так как меньше 4 месяцев осталось срок паспорта.

Вы до въезда в грузию сделали новый паспорт?

Так не выйдет - штампы выезда/въезда должны быть в одном паспорте. Вы же не можете материлизоваться на границе из ниоткуда?!

Единственный вариант - выехать в РФ по старому паспорту и заехать в Грузию уже по новому.

Но у вас же есть старый паспорт со штампом о выезде из России. Просто покажете оба при въезде в Турцию, проблем быть не должно, они оба действительны, доказательства пересечения границы есть.

Все верно, выезжает по которому въехали, а в Турции показываете новый.