Российские пограничники проверяют паспорта при выезде из России в Грузию или нет?

В смысле? А как иначе, проверяют конечно.

Заграничные да) внутренние впринципе могут попросить, но пересечение границы по заграну.

Очень странный вопрос)) Россия это Россия, Грузия это другое государство. Естественно проверяют.