Если менять российские авто номера на грузинские, на них можно выезжать в ЕС и Турцию? И ещё вопрос: страховку покупаешь на русские номера, а что делать, когда их поменяешь? Новую покупать?

Вас не впустит Турция. По второму вопросу не знаю. Не страховал.

Могу ответить только про Турцию. Турция требует ВНЖ на любую машину. Я за последние пару месяцев пересекал несколько раз границу на машине. Каждый раз так говорили. Проверяют ВНЖ Грузии если номера Грузинские.