В каком банке можно открыть счет и карту без подтверждения адреса? City отпадает, требуют договор годовой.

Возможно в маленьком каком нибудь. возможно Starone.

Без адреса нигде нельзя. Но подтверждением адреса может быть что угодно. Говорю вам как человек, открывший счета и ни разу не заключавший договор аренды на себя.