у мужа и детей Шенген есть, но оформили во французском консульстве и он ещё не открыт. Пустят ли в Финляндию?

Пустят. Шенген есть шенген. Насчёт гражданства, лучше описать данную ситуацию в письме нашим пограничникам и дождаться ответа. Если это не прокатит, то бронируйте лечение.

Если про румынское гражданство вообще никаких документов и оно у вас только на словах, я бы на месте российских пограничников вас не выпускала)