Не потскажите, как проводят проверку документов на границе Абхазии? Просто проверяют паспорт или пробивают?

Пробивают конечно.

Российская сторона "пробивает" по всем нюансам однозначно. Абхазская сторона душевно лояльна, а точнее просто не видит смысла дублировать уже сделанную русскими коллегами работу. Но это просто мои выводы.

С Абхазской стороны просто смотрят, с русской в компьютер заносят и там проверяют, нет ли долгов и пр.