Подскажите,свекровь живёт в Финляндии, могут ли меня пропустить на границе без приглашения?

Конечно.

Вчера женщина писала, что ее подругу не пропустили финны к сыну, так как приглашение было как-то неправильно оформлено.

Вас выпустят из России, но только со своим мужем, потому что свекровь- не Ваша родственница, а мужа. Нужно на границе предъявить свидетельство о браке, свидетельство о рождении мужа, паспорт свекрови.