Друзья! Знаете ли вы, могут ли граждане ЕС подавать документы на визу в Россию, в Эстонии или Литву (но они без жительства в этих странах)? И что касается с визами в Беларусь?

По основаниям могут.

С сайта визового ценра РФ: Оригинал или копия действующего разрешения на пребывание в Эстонии, если Вы не являетесь гражданином государства-члена Европейского Союза (в том числе Дании), Индии, Ирана, Лихтенштейна, Норвегии, США, Швейцарии, Южной Кореи.

Уже давно нельзя. Только в стране проживания или регистрации.