При прохождении границы с Монголией как быть с мобильной связью и с какой валютой в страну въезжать? Доллары или рубли.

Это зависит от возможностей и потребностей. Можете в роуминге разговаривать, если мошна позволяет, если нет, то купить местную симку, связь недорога, и международная тоже.

Рубли меняются практически по всей Монголии, а кое-где и заплатить ими можно. Зачем тратиться на двойной обмен, сначала рубли на доллары, потом их на тугры?