Кто знает, есть ли паром с Одессы в Грузию (в тот же Батуми) и можно ли на нём перевести мотоцикл / машину?

Есть, но попасть в Грузию не гражданину можно только самолётом, а обратно можно и на пароме. Можно отправить технику паромом, но самому лететь самолётом. Инфа на сайте укрферри.

Да.