Если в РФ подал документы на оформление загранпаспорта, но не забрал его, то можно ли при этом оформить загранпаспорт в консульстве или нет. Будут ли какие-нить проблемы?

Если по базе пробивают , конечно увидят что есть действующий паспорт.

На практике не скажу, но по закону у гражданина РФ может быть два загранника. Так что не должны.

Если паспорт вы не забрали, значит он не вышел в оборот, поэтому можно сделать другой. У меня была похожая ситуация, был старый и сделали новый, но новый забрать не успела, уехала по старому, все нормально было, до окончания срока работал.