Мой сын в Грузии собирается жить до осени, потерял загранпаспорт.

Здравствуйте, попробуйте обратится непосредственно в представительство РФ. У них сейчас запись идёт при личном обращении, если срок загранпаспорта истекает менее чем через 4 месяца, в вашем случае можно сказать «уже истёк». Делают, конечно, не ускоренно, но возможно выдадут какую-то справку-бумажку.