Мы арендовали квартиру на Airbnb, я же правильно понимаю, что владелец обычно сам уплачивает туристический сбор и сообщает о нас? И как правильно он называется?

Но он должен взять у вас паспорт. Или вы сами должны пойти.

50 на 50. Есть ленивые, которые ещё убедительно скажут, что регистрироваться не надо.

Нет, не правильно. Кто платит - это как договоритесь, но обычно сами сверх ценника аирбнб. И либо паспорт отдаёте хозяину и он вас регает, либо сами идёте.