Может быть кто-нибудь посоветует, чем туристам в Батуми занять себя в плохую погоду?

В музей сходите. В краеведческом есть подлинник Айвазовского. Можно взять экскурсовода, он всякие интересности расскажет.

Сходите на винную экскурсию в винный погреб Марани, сам владелец их проводит, после историй и дегустаций можете там остаться посидеть в ресторане.