Подскажите пожалуйста при браке с гражданином Финляндии женщина может брать его фамилию?

Конечно, может.

Не всегда , вот например в Греции нет, а если ты возьмёшь то при разводе обязан вернуть , и взять не просто определенная процедура , так что уточняйте, чтобы потом не было проблем.

Да, может Там при подаче в заявлении вы указываете фамилию мужа и фамилию жены после брака (тк может быть ситуация наоборот, когда муж берет фамилию жены)