если едешь по тур визе и везёшь с собой кота, могут быть проблемы на границе? При условии, что документы у животного в порядке.

Тут вопрос почему везёте с собой кота? Если часто путешествуете с животным и можете это доказать, то ок. А если это ваша первая поездка, то резонно возникает вопрос, а не иммигрировать ли Вы туда собираетесь.