А может кто-нибудь подробно рассказать про то, как делать прописку, если арендуешь жилье в Армении?

Просто попросить владельца квартиры прописать вас, штамп ставится в загран.

В паспортном столе не спрашивали вообще никаких документов на квартиру и согласия владельца, хотя знали что квартира в аренде. Приходишь с загранпаспортом, заполняешь заявление. Примерно через пару недель ставят штамп в загранник о регистрации.