Подскажите, в сертификате о вакцинации на английском языке указан серия и номер русского паспорта, такой подойдёт им или что-то нужно сделать?

Нужно зайти на госуслуги, в графе загран паспорт внести данные и снова скачать сертификат. Тогда в нем появится номер загранпаспорта.

Нет, вам надо в личные данные внести номер загранпаспорта, тогда при распечатке на английском языке, в нём будет указан номер загранпаспорта.