Я не в браке с отцом ребенка, но в свидетельстве о рождении он прописан, нужно ли его разрешение на выезд ребенка?

Нужно разрешение точно.

Да, доверенность на вывоз через нотариуса.

И едете Вы вместе с ним к нотариусу вместе, там всё подписывается и указываются сроки поездок, обычно нотариусы предлагают на год. Бессрочных таких штук нет.

В безвизовые страны разрешение не нужно, но для подстраховки нужно иметь. Вообще эта бумага в первую очередь нужна для оформления визы, а не для выезда за пределы россии. Нотариусу четко сказать что делаете до совершеннолетия ребенка и указать дату 18 дня рождения - они обязаны делать на срок, который вы укажете.