Институт предлагает в Португалии мне пойти на «Research Studentships for students of a course that does not award an academic degree» но профессор совершенно не представляет, что нужно делать с точки зрения легализации.

Просите официальное письмо от университета о том, что вы будете являться у них студентов в такой-то промежуток времени. Это подходит под учебную визу, их дают и для языковых курсов обычных и для бакалавриата/магистратуры. То есть нужно, чтобы это было на официальном бланке с датами начала и окончания программы, на ваше имя, с подписью от профессора, главного по кафедре или может даже декана факультета, там как смогут, и печатью университета. Ваш случай должен подходит под учебные визы, не вижу причин не подойти.