Хочу сьездить и посмотреть Минск, но за гран паспорта нет, смогу ли я проехать по внутреннему Российскому паспорту?

Чтобы поехать в Беларусь, гражданину РФ достаточно иметь с собой обычный общероссийский паспорт. Никаких отметок в паспорт не ставят и не нужно заполнять миграционную карту. Добро пожаловать!