Приехали в Сербию 29 августа, заселились в отель и в тот же день получили белый картон ( е-туриста) , 1 сентября подписали договор аренды квартиры.

Наверное просто дожить до визарана и сделать в МУПе после визарана новый белый картон

выехать из страны и заехать снова.

Я не эксперт

Но говорят что первый ваш картон, если в нём нет чёткой даты "дейстивтелен ДО ", - то он у вас до конца месяца будет действовать

И на новом визаране уже сделаете нормальный

БК не переделывают, а делают новый. Просто на том основании что вы переехали на новый адрес. Либо вы что-то не так рассказываете либо просто сходите в другую смену. Большая вероятность что другой дежурный окажется более сметливым