Можно ли в Казахстане трудоустроиться, арендовать квартиру без загранпаспорта?

Можно, но сложно. Сложно потому что оформить местную банковскую карту невозможно по внутреннему паспорту. Соответственно когда вы будете здесь искать работу вам нужно будет как-то на руки получать зарплату. С арендой квартир никаких проблем не будет.