Собираюсь лететь с котёнком, на момент вылета будет 11 месяцев прямым рейсом Спб-Белград.

Они вроде как разрешают взять переноску на коленки в некоторых случаях, но подробностей не знаю

Доставать животных во время перелета нельзя во имя их же безопасности.

Не везде в бизнес-классе можно провозить животных, смотрите правила нужной вам авиакомпании

Если на посадке и взлете котик четко под сиденьем то в течении полета когда уже можно отстегивать ремни людям, как правило можно котика на колени в переноске посадить. У нас было так 3 перелета. Проводников больше всего волнует именно взлет, посадка и турбуленция. В остальное время как правило не придираются