Подскажите пожалуйста, везем собаку Пермь-Ереван-Кипр.

по правилам в этот момент вы в ереване идете делать новые документы на нового человека, потому что меняется перевозчик 🙃

Вписываете папу в ветпаспорт, потом он же получает документы на выезд. В таком случае доверенность не нужна

Папу нужно вписать в паспорт как второго хозяина. В Армении вы делаете евросправку на выезд на Кипр. В РФ папа делает документ на себя до Армении

У вас в евросправке есть страница 8, куда вы можете вписать имя отца как перевозчика вашего животного.