Подскажите , как обстоят дела в очередях для пассажиров с маленькими детьми ? И есть ли частный транспорт от границы Литвы и до Минска?

В каких очередях? Пассажиров автобусов? Даже если вас пропустят вперёд, вам все равно надо ждать весь автобус. Поэтому не вижу разницы в какую очередь проходить контроль. Меня с маленькими ребенком пропускали вперед. Но, например, при въезде в Литву это практически бессмысленно, т.к. после пограничного контроля идет таможенный, который далеко не сразу начинает пропускать (ждут пока накопится народу с пограничного) и вы стоите и ждёте в помещении без туалета.