Подскажите пожалуйста, что нужно для того, чтобы гражданину РФ остаться законно в Казахстане на срок до 90 дней?

Дальше 30 дней нужно регистрироваться как-то, спроси в миграционке как правильно делать, это не секретные знания. Для въезда гражданам РФ можно воспользоваться внутренним паспортом гражданина Российской Федерации, либо можно предъявить загранпаспорт с неистекшим сроком действия. Гражданам других стран СНГ потребуется загранпаспорт.

Даже если срок безвизового пребывания для граждан СНГ в Казахстане составляет 90 дней, им все равно придется зарегистрироваться в миграционной службе через 30 дней пребывания. Т.е., например, россияне в Казахстане вправе находиться 30 дней без регистрации и еще 60 дней с регистрацией (суммарно 90 дней). Порядок регистрации иностранцев-граждан ЕАЭС и СНГ следующий (аналогично иностранцам из других стран):

в течение 3-х суток после въезда принимающая сторона в Казахстане уведомляет миграционную службу о прибытии иностранца (вне зависимости от его гражданства и цели пребывания);

на 30-й день пребывания нужно зарегистрироваться в миграционной службе. При этом срок нахождения в Казахстане продлевается еще на 60 календарных дней. Итого иностранец может находиться в стране до 90 календарных дней (30 иностранец уже пробыл в стране до получения РВП, и еще 60 получает дополнительно). В течение этих 90 дней иностранец из стран ЕАЭС может получить также РВП.

90 дней спокойно можете находится если до этого в этом году не находились в РК. Регистрации вам не нужны. Сделает принимающая сторона уведомление или нет на вас это никак не отразится. Выедете из РК без проблем. Делать уведомления ответственность граждан Казахстана.